平均曲率等於主曲率的算術平均數(k₁+k₂)/2。量綱爲長度。平均曲率和曲面面積的第一變分密切相關。特別的，像肥皂膜這樣的極小曲面平均曲率爲0，而肥皂泡平均曲率爲常數。不像高斯曲率，平均曲率依賴於嵌入，例如，圓柱和平面是局部等距的，但是平面的平均曲率爲0，而圓柱的非零。

第二基本形式[編輯]

曲面的外在曲率與內在曲率可以在第二基本形式中結合起來。用符號來表示

${\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{I}(\mathit{x},\mathit{x})=\mathit{n}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\mathit{x}}\mathit{x}}$

其中${\displaystyle \mathit{n}}$是曲面的單位法向量。對單位切向量${\displaystyle \mathit{x}}$，第二基本形式分別在主方向${\displaystyle {\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2}$處取得最大值${\displaystyle k_1}$與最小值${\displaystyle k_2}$。因此第二基本形式也可表示爲

${\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{I}=k_1(\mathit{x}\cdot {\mathit{u}}_1{)}^2+k_2(\mathit{x}\cdot {\mathit{u}}_2{)}^2}$

形狀算子[編輯]

形狀算子是與曲率相關的一個概念，是切空間到自身的線性算子。主曲率是形狀算子的特徵值，事實上形狀算子與第二基本形式關於切平面的一對正交基的矩陣表示相同。於是高斯曲率等於形狀算子的行列式，而平均曲率等於形狀算子的跡的一半。

黎曼幾何|多變量微積分|曲率